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Angewandte Mathematik mit Mathcad, Lehr- und Arbeitsbuch: by Josef Trölß

By Josef Trölß

Computer-Algebra-Systeme (CAS) und computerorientierte numerische Verfahren (CNV) vereinfachen den praktischen Umgang mit der Mathematik ganz entscheidend und werden in immer weiteren Bereichen angewendet.

Mathcad stellt dazu eine Vielfalt an Werkzeugen zur Verfügung und verbindet mathematische Formeln, Berechnungen, Texte, Grafiken usw. in einem einzigen Arbeitsblatt. So lassen sich Berechnungen und ihre Resultate besonders einfach illustrieren, visualisieren und kommentieren.

Dieses Lehr- und Arbeitsbuch, aus dem vierbändigen Werk ''Angewandte Mathematik mit Mathcad'', richtet sich vor allem an Schülerinnen und Schüler höherer Schulen, Studentinnen und Studenten, Naturwissenschaftlerinnen und Naturwissenschaftler sowie Anwenderinnen und Anwender – speziell im technischen Bereich –, die sich über eine computerorientierte Umsetzung mathematischer Probleme im Bereich komplexer Zahlen, komplexer Funktionen, Vektor- und Matrizenrechnung, Vektoranalysis informieren und dabei die Vorzüge von Mathcad möglichst effektiv nützen möchten.

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8 Die Division einer komplexen Zahl z 1 durch j n (n ²) entspricht einer Drehung des Zeigers z 1 um n . (- 90°) im Uhrzeigersinn. Wendet man ein Potenzgesetz wie im Reellen an, dann ergibt sich nämlich: z= z1 j n = r1 ˜ e 1˜ e j˜M 1 j˜90˜Grad = r1 ˜ e n j˜M 1  j˜n˜90˜Grad ˜e Ist n = 1, so wird der Zeiger z 1 um - 90° gedreht. r ˜ ej˜M = r ˜ r ˜ r.... M) = rn ˜ ej˜n˜M (1-58) Beweis des Satzes von Moivre mithilfe der vollständigen Induktion: 1) n = 1; n = 2; n= 3 1 A(1): ( cos ( M )  j ˜ sin ( M ) ) = cos ( M )  j ˜ sin ( M ) 2 2 2 A(2): ( cos ( M )  j ˜ sin ( M ) ) = cos ( M )  j ˜ 2 ˜ cos ( M ) ˜ sin ( M )  j ˜ sin ( M ) 2 2 2 = cos ( M )  sin ( M )  j ˜ 2 ˜ cos ( M ) ˜ sin ( M ) = cos ( 2 ˜ M )  j ˜ ( sin ( 2 ˜ M ) ) A(3): sin2 (M) = 1 - cos2 (M) 3 3 2 2 ( cos ( M )  j ˜ sin ( M ) ) = cos ( M )  3 ˜ cos ( M ) ˜ sin ( M )  j ˜ 3 ˜ sin ( M ) ˜ cos ( M )  j ˜ sin ( M ) 3 3 3 = cos ( M )  3 ˜ cos ( M )  3 ˜ cos ( M )  j ˜ 3 ˜ sin ( M )  3 ˜ sin ( M )  sin ( M ) 3 = 4 ˜ cos ( M )  3 ˜ cos ( M )  j ˜ 3 ˜ sin ( M )  4 ˜ sin ( M ) 3 3 3 = cos(3 ˜ M )  j ˜ sin (3 ˜ M ) 2) Annahme A(n) ist gültig: n A(n): ( cos ( M )  j ˜ sin ( M ) ) = cos ( n ˜ M )  j ˜ sin ( n ˜ M ) 3) Muß auch für A(n+1) gültig sein: n 1 n 1 = ( cos ( n ˜ M )  j ˜ sin ( n ˜ M ) ) ˜ ( cos ( M )  j ˜ sin ( M ) ) A(n+1): ( cos ( M )  j ˜ sin ( M ) ) = ( cos ( n ˜ M )  j ˜ sin ( n ˜ M ) ) ˜ ( cos ( M )  j ˜ sin ( M ) ) = ( cos ( n ˜ M ) ˜ cos ( M )  sin ( n ˜ M ) ˜ sin ( M ) )  j ˜ ( sin ( n ˜ M ) ˜ cos ( M )  cos ( n ˜ M ) ˜ sin ( M ) ) = cos ( n ˜ M  M )  j ˜ sin ( n ˜ M  M ) = cos [ ( n  1) ˜ M ]  j ˜ sin [ ( n  1) ˜ M ] 4) gilt für alle n ² (gilt auch für n   und auch für n  4).

10 Z-Ebene: Widerstandsebene Y-Ebene: Leitwertebene Abb. 11 b) Widerstands- und Leitwertoperatoren der verlustfreien Spule L Abb. 12 Für eine Spule gilt das Induktionsgesetz u = us = L ˜ d i ( t) , (2-37) dt und in komplexer Darstellung (Permanenzprinzip - die Differentiation verläuft nach den gleichen Regeln wie im Reellen) u = L˜ d i. (2-38) dt Daraus erhält man: j ˜Z˜t 2˜ U˜ e = L˜ d dt =j˜ j ˜Z˜t 2˜ I˜ e j˜Z˜t 2˜ Z ˜ L˜ I˜ e . (2-39) Durch Kürzen folgt schließlich das Ohmsche Gesetz in komplexer Formulierung: U= j ˜ Z ˜ L˜ I.

M) = rn ˜ ej˜n˜M (1-58) Beweis des Satzes von Moivre mithilfe der vollständigen Induktion: 1) n = 1; n = 2; n= 3 1 A(1): ( cos ( M )  j ˜ sin ( M ) ) = cos ( M )  j ˜ sin ( M ) 2 2 2 A(2): ( cos ( M )  j ˜ sin ( M ) ) = cos ( M )  j ˜ 2 ˜ cos ( M ) ˜ sin ( M )  j ˜ sin ( M ) 2 2 2 = cos ( M )  sin ( M )  j ˜ 2 ˜ cos ( M ) ˜ sin ( M ) = cos ( 2 ˜ M )  j ˜ ( sin ( 2 ˜ M ) ) A(3): sin2 (M) = 1 - cos2 (M) 3 3 2 2 ( cos ( M )  j ˜ sin ( M ) ) = cos ( M )  3 ˜ cos ( M ) ˜ sin ( M )  j ˜ 3 ˜ sin ( M ) ˜ cos ( M )  j ˜ sin ( M ) 3 3 3 = cos ( M )  3 ˜ cos ( M )  3 ˜ cos ( M )  j ˜ 3 ˜ sin ( M )  3 ˜ sin ( M )  sin ( M ) 3 = 4 ˜ cos ( M )  3 ˜ cos ( M )  j ˜ 3 ˜ sin ( M )  4 ˜ sin ( M ) 3 3 3 = cos(3 ˜ M )  j ˜ sin (3 ˜ M ) 2) Annahme A(n) ist gültig: n A(n): ( cos ( M )  j ˜ sin ( M ) ) = cos ( n ˜ M )  j ˜ sin ( n ˜ M ) 3) Muß auch für A(n+1) gültig sein: n 1 n 1 = ( cos ( n ˜ M )  j ˜ sin ( n ˜ M ) ) ˜ ( cos ( M )  j ˜ sin ( M ) ) A(n+1): ( cos ( M )  j ˜ sin ( M ) ) = ( cos ( n ˜ M )  j ˜ sin ( n ˜ M ) ) ˜ ( cos ( M )  j ˜ sin ( M ) ) = ( cos ( n ˜ M ) ˜ cos ( M )  sin ( n ˜ M ) ˜ sin ( M ) )  j ˜ ( sin ( n ˜ M ) ˜ cos ( M )  cos ( n ˜ M ) ˜ sin ( M ) ) = cos ( n ˜ M  M )  j ˜ sin ( n ˜ M  M ) = cos [ ( n  1) ˜ M ]  j ˜ sin [ ( n  1) ˜ M ] 4) gilt für alle n ² (gilt auch für n   und auch für n  4).

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