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An easier solution of a Diophantine problem about triangles, by Euler L.

By Euler L.

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Für A = 0 existiert keine inverse Matrix, aber das Gleichungssystem kann bei passender Wahl der Yl' Y2' ••. , Yn Lösungen besitzen, wie im fünften Kapitel gezeigt werden soll. : Beweis: Weil m:~~-lm:-l = m:2t- 1 = ~ ist, ist ~-lm:-l die Inverse zu m:~. Mit m:' wird die Matrix bezeichnet, die durch Vertauschung von Zeilen und Spalten aus m: entsteht; sie heißt die transponierte Matrix. Wie bei den Inversen gilt auch für die Transponierte eines Produktes der Satz 24: (m:~)' = Beweis: Das Element der i ten ~'m:'.

Eine ganze rationale Funktion F(aik) möge die Eigenschaften I und Ir besitzen, d. h. I. F ist homogen und linear in bezug auf die Elemente einer jeden Zeile. II. F wechselt das Zeichen, wenn zwei Zeilen vertauscht werden. ,. , wo k l , k 2 , ••• , k. konstante Größen sind. Beweis: Denkt man sich F als Summe aufgeschrieben, so muß mit Rücksicht auf I jedes Glied ein und nur ein Element aus jeder Zeile als Faktor enthalten. Werden mit Cl> C2 , • •• gewisse Konstante bezeichnet, so kann man ansetzen.

1 o 1 0 ... 5 ik ) .. n Verkettung vorausgesetzt 2(~ = 2(. Die Multiplikation ist distributiv, d. h. k =2}ail! Cu 2}b i l! k I! und 2}ail! k) = + e 2} a il! bek e + 2(~. I! + 2}a i l! k' I! Quadratische Matrizen des gleichen Typs haben demnach die Eigenschaft, daß Summe und Produkt erklärt sind und wieder eine Matrix des gleichen Typs ergeben. Die Addition ist kommutativ und assoziativ, die Multiplikation assoziativ und distributiv. Eine Menge von Größen, denen diese Eigenschaften zukommen, bezeichnet man als einen Ring.

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