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Algèbre linéaire by R. Cairoli

By R. Cairoli

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11). ,Q= P + x Fig. 11 On remarquera que P + (x 4- y) = (P + x) + y. 4 Dimension d'un espace affine On appelle dimension d'un espace affine la dimension de son espace directeur. 2. (1) Pour tout point P, PP •= 0. Cela résulte de la condition (b) appliquée au cas où P == Q = R. (2) Si PQ = 0, alors P •= Q. Cela résulte de la condition (a), compte tenu de la règle (1). (3) TQ = -QP. Il suffit de poser R = P dans la condition (b). (4) Règle du parallélogramme. PP' = QQ' si et seulement si P'Q' = PQ.

Il s'ensuit que y est l'ensemble des points P satisfaisant à la relation P = PQ + a,vi + a^ + ... , a-ic sont des variables parcourant IR. Cette relation est appelée représentation paramétrique de V. , a^ paramètres de la représentation. 9'' (fig. 14). Fig. , e,,). il;n + Ot^Dp + ... + Ot^n. X:, = X^ + util;:,! + Ot2t>22 + - + 0^2* X^ = X0, + Oi^i + 02^2 + ... + Ot^. Ces équations sont appelées équations paramétriques de y. 7 Cas particuliers Une droite est déterminée par un de ses points et un vecteur directeur, un plan par un de ses points et deux vecteurs directeurs.

Assertion (b). y, ~p^ est un vecteur de S. Réciproquement, si x est un vecteur de S, choisissons un point quelconque P de S^ et posons Q = P + x. D'après (a), Q est un point de y, donc x est bien un vecteur de la forme PQ, avec P et Q des points de ,Y. 16) ne dépend pas du choix de l'«origine» Py et détermine le sous-espace vectoriel S. On dit que S est 1'espace directeur ou la direction de Y. Y un sous-espace affine de <^ de direction S. 2. V en tant qu'espace affine, c'est-à-dire la dimension de l'espace directeur de V.

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