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Algebra und Diskrete Mathematik 1: Grundbegriffe der by Dietlinde Lau (auth.)

By Dietlinde Lau (auth.)

Algebra und Diskrete Mathematik gehören zu den wichtigsten mathematischen Grundlagen der Informatik. Band 1 dieses zweibändigen Lehrbuchs liegt jetzt in korrigierter und erweiterter dritter Auflage vor und führt umfassend und lebendig in den Themenkomplex ein. Dabei ermöglichen ein klares Herausarbeiten von Lösungsalgorithmen, viele Beispiele, ausführliche Beweise und eine deutliche optische Unterscheidung des Kernstoffs von weiterführenden Informationen einen raschen Zugang zum Stoff. Die umfangreiche Sammlung von Übungsaufgaben erleichtert nicht nur eine aktive Erarbeitung des Inhalts, sondern zeigt auch die unterschiedlichsten Anwendungsmöglichkeiten auf.

Zum Inhalt: Einführung in die Grundbegriffe der Mathematik und Vorstellung der wichtigsten Beweismethoden; Lineare Algebra und analytische Geometrie; Einführung in die Numerische Algebra

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Weiter mit Definitionen Sei A eine Menge. Man sagt • A ist unendlich :⇐⇒ ∃B : B ⊂ A ∧ B ∼ A; • A ist endlich :⇐⇒ A ist nicht unendlich. Beispiel Die Unendlichkeit der Menge N0 ergibt sich aus der Bijektion f := {(n, 2 · n) | n ∈ N0 } von N0 auf die echte Teilmenge der geraden Zahlen von N0 . Eine erste Unterscheidung zwischen verschiedenen Unendlichkeiten“ liefern ” die Definitionen Sei A eine Menge. Dann heißt • A abz¨ ahlbar (unendlich) :⇐⇒ A ∼ N; • Au ahlbar :⇐⇒ A unendlich und nicht abz¨ahlbar.

B. in [Deu 99], wo man auch die Originalbeweise von Cohen und der von ihm benutzten Ergebnisse anderer Mathematiker nachlesen kann. Wer sich f¨ ur Unentscheidbarkeitsbeweise interessiert, dem sei [Rau 96] empfohlen. Verstehen kann man die dort angegebenen Beweise jedoch erst, nachdem man sich ausf¨ uhrlich mit Mathematischer Logik besch¨ aftigt hat. Da die Mathematische Logik ein wichtiger Bestandteil der Grundlagenmathematik bildet, wollen wir einige Anfangs¨ uberlegungen dieser Theorie im n¨ achsten Abschnitt behandeln.

Charakterisieren. ) keine 1-Periode besitzt. 5 leicht I ∼ F \E ∼ F ∼ P(N) zeigen, woraus (b) folgt. B. 6 Boolesche Funktionen und Pr¨ adikate 35 ¨ u bijektiv, womit F ∼ F × F gilt. Als UA ¨ berlege man sich, daß hieraus (c) folgt. ¨ (d): UA. B. in [Ale 67] finden kann. 9 (ohne Beweis) Seien A und B beliebig gew¨ahlte Mengen mit |A| ≤ |B| und B ist eine unendliche Menge. Dann gilt |A ∪ B| = |B| und, falls A = ∅, |A × B| = |B|. Eine abschließende Bemerkung: Oben wurde gezeigt, daß ℵ0 := |N| die kleinste Kardinalzahl einer unendlichen Menge ist.

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