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Algebra lineare ed equazioni differenziali ordinarie by Cesare Parenti, Alberto Parmeggiani

By Cesare Parenti, Alberto Parmeggiani

Si tratta di un testo avanzato suddiviso in due parti. l. a. prima fornisce strumenti dell'algebra lineare nel caso finito-dimensionale pensato con una prospettiva infinito-dimensionale. los angeles seconda tratta di equazioni/sistemi differenziali ordinari, con particolare enfasi sulla stabilit dei punti di equilibrio e delle orbite periodiche. Non mancano applicazioni alle equazioni alle derivate parziali. los angeles prima parte pu essere utilizzata autonomamente, mentre l. a. seconda dipende in parte dai risultati esposti nella prima.

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Decomposizione polare e Teorema di Lyapunov È opportuno introdurre ora la classe delle trasformazioni (e matrici) normali. 1. Sia V uno spazio vettoriale complesso con un prodotto hermitiano ·, · e sia f : V −→ V un’applicazione lineare. Si dice che f è normale se f ◦ f∗ = f∗ ◦ f. Una matrice A ∈ M(n; C) si dice normale se AA∗ = A∗ A. Abbiamo il seguente teorema. 2. Siano dati V ed f come nella definizione precedente. e. f ◦ f ∗ = f ∗ ◦ f ; (ii) || f (v)|| = || f ∗ (v)||, per ogni v ∈ V ; (iii) f = p + iq, p, q : V −→ V lineari con p = p∗ , q = q∗ , e [p, q] = p ◦ q − q ◦ p = 0.

In particolare si dirà che f è ortogonale quando f ◦ t f = t f ◦ f = 1V . Se A ∈ M(n; R), diremo che A è normale, rispettivamente ortogonale, quando A tA = risp. A tA = tAA = In . Con O(n; R) indicheremo l’insieme delle matrici n × n ortogonali. tAA, L’osservazione cruciale che stabilisce un legame tra il caso reale e quello complesso è la seguente. 13. Sia V uno spazio vettoriale reale con prodotto scalare ·, · fissato. Si consideri il complessificato CV ed il prodotto hermitiano ·, · C su CV , complessificato di ·, · : u + iv, u + iv C = u, u + v, v + i v, u − u, v Allora f : V −→ V è normale, risp.

Con O(n; R) indicheremo l’insieme delle matrici n × n ortogonali. tAA, L’osservazione cruciale che stabilisce un legame tra il caso reale e quello complesso è la seguente. 13. Sia V uno spazio vettoriale reale con prodotto scalare ·, · fissato. Si consideri il complessificato CV ed il prodotto hermitiano ·, · C su CV , complessificato di ·, · : u + iv, u + iv C = u, u + v, v + i v, u − u, v Allora f : V −→ V è normale, risp. ortogonale, se e solo se normale, risp. unitaria. C . 60) f : CV −→ CV è Dimostrazione.

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