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Algebra · Invariantentheorie · Geometrie by David Hilbert (auth.)

By David Hilbert (auth.)

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H. ~ ein bestimmtes Formensystem cp, welches der Grundform f im Sinne der Gleichung (4) zugehOrt. ) = 0 (5) ergibt. Wie durch das in Klammern beigefiigte Argument A. , und zwar ausschlieBlich linear in den Elementen einer Diagonale, also im Grade v + 1. Da der Koeffizient dieser hochsten Potenz von A. einen bestimmten, von Null verschiedenen Zahlenwert annimmt, so ist es unter keinen Umstanden moglich, daB die gefundene Determinante identisch fiir alle Werte A. verschwindet. ) besitzt gegeniiber den linearen Transformationen der Grundform f einen invarianten Charakter, d.

Unseren friiheren allgemeinen Auseinandersetzungen zufolge entsteht in erster Linie die Frage nach denjenigen Formen rp von der Ordnung v, welche die Eigenschaft besitzen, sich nach ihrer i-ten "Oberschiebung tiber die gegebene Grundform I his auf einen konstanten Faktor A. B die Identitat (4) gilt. Damit ist der eigentliche Ausgangspunkt fiir die nachfolgenden Betrachtungen gewonnen, in deren weiterem Verlaufe sich das eingehende Studium jenes Formensystems rp als ein rationelles Forschungsmittel im Gebiete der binaren Formen gerader Ordnung bewahrt findet.

Rationale Kovarianten von der Ordnung 11 fur jede der beiden V ariablenreihen X:t, x 2 ; y1 , y2 , dagegen vom Grade 0, 1 , ... , 11 in den K oelfizienten der Grundform f. Die Richtigkeit dieses Satzes wird Ieicht erkannt, sobald wir uns analoger Uberlegungen wie beim Beweise des entsprechenden Satzes auf Seite 42-43 bedienen. Wenden wir namlich die vorhin gewonnenen Relationen fiir unsere Determinante Ll(x, y, A) nach linearer Transformation der Grundform fan, so mull offenbar das rechter Hand sich ergebende Formenprodukt mit dem durch direkte Transformation hervorgehenden Ausdrucke f/J' ( x') tp' (y') his auf eine Konstante iibereinstimmen, d.

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