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Algebra II: Unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und by Bartel L. van der Waerden

By Bartel L. van der Waerden

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Der Raum direkte Summe der Teilraume u£ 5B : a: ist also a: = Ul 5B + ... + U m 5B . (2) Die Formel (3) zeigt, daB der Modul (i: von der Wahl der Basisvektoren in 5B unabhangig ist. Man kann die Elemente W von a: direkt in der Form (2) ansetzen und ihre Addition und Multiplikation mit Elementen von P definieren, ohne in 5B eine Basis einzufiihren. ngig ist. Nach (3) kann man den Modul a: = 2(x 5B auch dann bilden, wenn 2( ein endlich-dimensionaler Vektorraum und 5B irgend ein P-Modul ist. Ebenso kann man a: nach (5) bilden, wenn 2( ein beliebiger P-Modul und 5B ein endlich-dimensionaler Vektorraum ist.

195, sowie A 57, S. 218 und 363 und A 58, S. 151. 2 E. CARTAN: These (1894). Dazu H. FREUDENTHAL, Proc. Akad. Amsterdam A 56 (1953). 3 H. WEYL: Darstellung halbeinfacher Gruppen durch lineare Transformationen I-III. Math. 328 und 789. Dazu B. L. VAN DER WAERDEN, Math. Z. 37, S. 446. 34 Algebren E. WITT, J. reine u. angew. Math. 177 (1937), S. 152 und Abh. math. Sem. Univ. Hamburg 14 (1941), S. 289. H. FREUDENTHAL, Proc. Akad. Amsterdam A 57 (1954), S. 369 und 487; A 59 (1956), S. 511; A 61 (1958), S.

Wenn die y genauso transformiert werden wie die x, mit den gleichen Koeffizienten n'/: (5) y, = L nf/yj , so wird B (x, y) in eine Bilinearform B' (x', y') transformiert: B(x, y) = B' (x', y'). Aus (2) folgt nun (6) Q' (x' + y') = Q' (x') + Q' (y') + B' (x', y') . Wenn also B die Polarform zu Q ist, so ist B' die Polarform zu Q'. Die Bildung der Polarform ist invariant gegeniiber linearen Variabelntransformationen. lt man 4 Q(x) = 2 Q(x) oder (7) + B(x, x) 2 Q(x) = B(x, x) . 1st die Charakteristik des Korpers nicht 2, so kann man aus B (x, x) die Form Q (x) zuriickgewinnen: Q(x) = !

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